ALTIN ORAN-“EVRENİN MATEMATİĞİ”

Matematik ve estetik veya matemtiğin gerçek hayatla ilişkisi dennce akla ilk olarak hiç şüphesiz altın oran gelir. Ben de üniversitede Bilim Tarihi dersi sunumda derleyip sunduğum bilgileri sizlerle paylaşmak istedim.

Altın oran, özellikle çeşitli bilim dallarında, mimari ve sanatsal alanlarda yararlanılan, belirli bir tutarlılık üzerine kurulu parçalar arasındaki uyumu yansıtan geometrik ve sayısal değerlere verilen isimdir. İlk kez Mısırlılar ve Yunanlar tarafından mimari yapılarda, heykellerde ve diğer sanatsal alanlarda kullanılmıştır. Temel olarak bölünen bir bütünün yan yana getirilen iki parçasının diğer büyük parçayı oluşturması prensibine dayanır.

 

•Altın Oran, pi (π) gibi irrasyonel bir sayıdır ve ondalık sistemde yazılışı; 1,618033988749894…’tür (noktadan sonraki ilk 15 basamak). Bu oranın kısaca gösterimi:            olur.

 

• Altın Oranın ifade edilmesi için kullanılan sembol, Fi yani Φ‘dir.

 

    İlk olarak kimler tarafından keşfedildiği bilinmese de, Mısırlılar’ın ve Yunanlılar’ın bu konu üzerinde yapmış oldukları bazı çalışmalar olduğu görülmektedir. Öklid, milattan önce 300′lü yıllarda yazdığı “elementler” adlı tezinde “ekstrem ve önemli oranda bölmek” olarak altın oranı ifade etmiştir. Mısırlılar Keops Piramidi’nin tasarımında hem pi hem de fi oranını kullanmışlardır. Yunanlar, Parthenon’un tüm tasarımını Altın Oran’a dayandırmışlardır. Bu oran, ünlü Yunan heykeltıraş Phidias tarafından da kullanılmıştır.

 

•Leonardo Fibonacci adındaki İtalyan matematikçi, adıyla anılan nümerik serinin olağanüstü özelliklerini keşfetmiştir. Leonardo da Vinci, 1509’da Luca Pacioli’nin yayımladığı İlahi Oran adlı bir çalışmasına resimler vermiştir. Bu kitapta Leonardo da Vinci tarafından yapılmış Five Platonic Solids (Beş Platonik Cisim) adlı resimler bulunmaktadır. Bunlar, bir küp, bir Tetrahedron (Düzgün Dörtyüzlü), bir Dodekahedron (Düzgün Onikiyüzlü), bir Oktahedron (Düzgün Sekizyüzlü) ve bir Ikosahedronun (Düzgün Yirmiyüzlü) resimleridir.

Resim1

 

•Altın Oran’ın Latince karşılığını ilk kullanan muhtemelen Leonardo da Vinci ‘dir. Leonardo da Vinci insan vücudundaki ölçüleri belirlerken altın oranı kullanmıştır.

Resim2.png

 

•Sanatçılar, bilim adamları ve tasarımcılar, araştırmalarını yaparken ya da ürünlerini ortaya koyarlarken orantıları altın orana göre belirlenmiş insan bedenini ölçü olarak alırlar. Rönesans sanatçıları Altın Oran’ı tablolarında ve heykellerinde denge ve güzelliği elde etmek amacıyla sıklıkla kullanmışlardır. Örneğin Leonardo da Vinci, Son Yemek adlı tablosunda, İsa’nın ve havarilerin oturduğu masanın boyutlarından, arkadaki duvar ve pencerelere kadar tüm anahtar ölçülerde Altın Oran’ı uygulamıştır

Resim3

•Güneş etrafındaki gezegenlerin yörüngelerinin eliptik yapısını keşfeden Johannes Kepler (1571-1630), Altın Oran’ı şu şekilde belirtmiştir: “Geometrinin iki büyük hazinesi vardır; biri Pythagoras’ın teoremi, diğeri, bir doğrunun Altın Oran’a göre bölünmesidir.” Bu oranı göstermek için, Parthenon’un mimarı ve bu oranı resmen kullandığı bilinen ilk kişi olan Phidias’a ithafen, 1900’lerde Yunan alfabesindeki Phi harfini Amerika’lı matematikçi Mark Barr kullanmıştır. Aynı zamanda Yunan alfabesindekine karşılık gelen F harfi de, Fibonacci’nin ilk harfidir.

Resim4

 

FIBONACCI SAYILARI VE ALTIN ORAN

•      Fibonacci ardışıkları, Altın Oran ilişkisi yorumlamasıdır.

•      Leonardo Fibonacci İtalya’nın Pisa şehrinde doğmuş olan İtalyan bir matematikçidir, bu nedenle Pisalı Leonardo olarak da anılmaktadır. Fibonacci bir problemi araştırırken bu sayıları buluyor ve kendi adını veriyor.

•      Fibonacci sayıları (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946… şeklinde devam eder) ile Altın Oran arasında ilginç bir ilişki vardır.

•       Fibonacci dizisinin özelliği kendinden önceki iki ardışık sayının toplamının kensisinden sonraki sayıya eşit olmasıdır. Örneğin 13 sayısı  kendisinden önceki iki sayının (5+8) toplamını göstermektedir. “İyi de, peki bu sayıların altın oran ile bağlantısı nedir?” sorusu aklımıza gelebilir, onu da şöyle açıklayalım:

•       Dizideki ardışık iki sayının oranı, sayılar büyüdükçe Altın Oran’a yaklaşır. Yani, dizilim içinde bir sayıyı kendisinden önce gelen sayıya bölerek ilerlersek ulaşacağımız sonuç 1,618 rakamına sürekli yaklaşacak şekilde oluşacaktır. Örneğin; 6765 / 4181 = 1,618… sonucunu vermektedir. Bu durum, 89!dan daha küçük olan Fibonacci sayıları için 0,01 gibi küçük bir farklılıkla ortaya çıksa da, büyük sayıların tamamında sonuç aynıdır.

•       Yani dizideki ardışık iki sayının oranı, sayılar büyüdükçe Altın Oran’a yani 1.618’e yaklaşır, 89/55 ve sonrasında ise 1.618..’de sabitlenir.

•      Altın oranın karşılık geldiği 1,618 sayısının matematikteki en şaşırtıcı yanı, tersinin bir eksiğine; karesinin ise bir fazlasına eşit olmasıdır. Bu yönüyle altın oran (Φ) evrende eşi benzeri olmayan, bu özelliğe sahip tek sayıdır. Bu kuralı biraz açarsak, şunları söyleyebiliriz:

•      Bir sayının tersi, 1’in o sayıya  bölünmesi ile elde edilen sonuçtur. Örneğin 2‘nin tersi 1/2=0,5‘tir. 

•      Altın oranın tersi ise, 1 / 1,618 = 0,618‘dir. Yani altın oranın tersi, kendisinin 1 eksiğine eşittir.

•      Aynı şekilde altın oranın karesi (1,618)2 = 2,618‘e, yani kendisinin bir fazlasına eşittir.

•      Bu, şaşkınlık verecek bir durumdur ve bu özellikte başka bir sayı yoktur!

 

ALTIN DİKDÖRTGEN

•       Altın dikdörtgen kenarları arasında altın oran bulunan dikdörtgendir.

•       Altın dikdörtgenin ayırt edici özelliklerinden biri, şeklin içinden bir kare çıkarıldığında yine bir altın dikdörtgen elde edilmesidir; yeni dikdörtgen, ilkiyle aynı oranlara sahiptir. Kare çıkarma işlemi sonsuza kadar devam ettirilebilir. Bu karelerin köşeleri, özel bir logaritmik spiral olan, altın spiral üzerindeki sonsuz nokta dizisine karşılık gelir.

Resim5

•Altın dikdörtgen sadece pergel ve cetvel yardımıyla çizilebilir:

•Basit bir kare çizilir

•Bir kenarın orta noktası, karşı köşelerden birine birleştirilir

•Oluşan doğru yarıçap kabul edilerek çizilecek çember yayıyla dikdörtgenin yüksekliği ortaya çıkar

•Altın dikdörtgenin diğer kenarları uygun biçimde tamamlanır

 

İnsan Vücudu ve Altın Oran

•Sanatçılar, bilim adamları ve tasarımcılar, araştırmalarını yaparken ya da ürünlerini ortaya koyarlarken orantıları altın orana göre belirlenmiş insan bedenini ölçü olarak alırlar. Leonardo da Vinci ve Corbusier tasarımlarını yaparken altın orana göre belirlenmiş insan vücudunu ölçü almışlardır. Günümüz mimarlarının en önemli başvuru kitaplarından biri olan Neufert’te de altın orana göre belirlenmiş insan vücudu temel alınmaktadır.

İnsan Bedeninde Altın Oran

•Bedenin çeşitli kısımları arasında var olduğu öne sürülen ve yaklaşık altın oran değerlerine uyan “ideal” orantı ilişkileri genel olarak bir şema halinde gösterilebilir.

•İnsan vücudunda altın orana verilebilecek ilk örnek; göbek ile ayak arasındaki mesafe 1 birim olarak kabul edildiğinde, insan boyunun 1,618’e denk gelmesidir. Bunun dışında vücudumuzda yer alan diğer bazı altın oranlar şöyledir:

                                   

Resim6
Parmak ucu-dirsek arası / El bileği-dirsek arası, 
Omuz hizasından baş ucuna olan mesafe / Kafa boyu, 
Göbek-baş ucu arası mesafe / Omuz hizasından baş ucuna olan mesafe, 
Göbek-diz arası / Diz-ayak ucu arası.
(büyük parçaların küçük parçalara oranı)

İnsan Yüzünde Altın Oran

•İnsan yüzünde de birçok altın oran vardır. Ancak bunu elinize hemen bir cetvel alıp insanların yüzünde ölçüler almayı denemeyin. Çünkü bu oranlandırma, bilim adamları ve sanatkarların beraberce kabul ettikleri “ideal bir insan yüzü” için geçerlidir.

Resim7
Yüzün boyu / Yüzün genişliği, 
Dudak- kaşların birleşim yeri arası / Burun boyu, 
Yüzün boyu / Çene ucu-kaşların birleşim yeri arası, 
Ağız boyu / Burun genişliği, 
Burun genişliği / Burun delikleri arası, 
Göz bebekleri arası / Kaşlar arası.

Akciğerlerdeki Altın Oran

•Amerikalı fizikçi B. J. West ile doktor A. L. Goldberger, 1985-1987 yılları arasında yürüttükleri araştırmalarında, akciğerlerin yapısındaki altın oranının varlığını ortaya koydular. Akciğeri oluşturan bronş ağacının bir özelliği, asimetrik olmasıdır. Örneğin, soluk borusu, biri uzun (sol) ve diğeri de kısa (sağ) olmak üzere iki ana bronşa ayrılır. Ve bu asimetrik bölünme, bronşların ardışık dallanmalarında da sürüp gider. İşte bu bölünmelerin hepsinde kısa bronşun uzun bronşa olan oranının yaklaşık olarak 1/ 1,618 değerini verdiği saptanmıştır.

 

Deniz Kabuklarındaki Tasarım

•Bilim adamları deniz dibinde yaşayan ve yumuşakça olarak sınıflandırılan canlıların taşıdıkları kabukların yapısını incelerken bunların formu, iç ve dış yüzeylerinin yapısı dikkatlerini çekmiştir

•Yumuşakçaların pek çoğunun sahip olduğu kabuk logaritmik spiral şeklinde büyür. Bu canlıların hiçbiri şüphesiz logaritmik spiral bir yana, en basit matematik işleminden bile habersizdir. Peki nasıl olup da söz konusu canlılar kendileri için en ideal büyüme tarzının bu şekilde olduğunu bilebiliyorlar?

Resim8

•Birkaç santimetre çapındaki bir nautilusta, gnom tarzı büyümenin en güzel örneklerinden birini görmek mümkündür. C. Morrison insan zekası ile bile planlaması hayli güç olan bu büyüme sürecini şöyle anlatır:

•”Nautilus’un kabuğunun içinde, sedef duvarlar ile örülmüş bir sürü odacığın oluşturduğu içsel bir sarmal uzanır. Hayvan büyüdükçe, sarmal kabuğunun ağız kısmında, bir öncekinden daha büyük bir odacık inşa eder ve arkasındaki kapıyı bir sedef tabakası ile örterek daha geniş olan bu yeni bölüme ilerler.

Resim9

 

Sarmal Formda Gelişen Boynuzlar ve Dişler

•Hayvanlar dünyasında sarmal formda büyüme sadece yumuşakçaların kabukları ile sınırlı değildir. Özellikle Antilop, yaban keçisi, koç gibi hayvanların boynuzları gelişimlerini temelini altın orandan alan sarmallar şeklinde tamamlarlar.

•Filler ile soyu tükenen mamutların dişleri, aslanların tırnakları ve papağanların gagalarında logaritmik sarmal kökenli yay parçalarına göre biçimlenmiş örneklere rastlanır. Eperia örümceği de ağını daima logaritmik sarmal şeklinde örer. Mikroorganizmalardan planktonlar arasında, globigerinae, planorbis, vortex, terebra, turitellae ve trochida gibi minicik canlıların hepsinin sarmala göre inşa edilmiş bedenleri vardır.

 

İşitme ve Denge Organında Altın Oran

•İnsanın iç kulağında yer alan Cochlea (Salyangoz) ses titreşimlerini aktarma işlevini görür. İçi sıvı dolu olan bu kemiksi yapı, içinde altın oran barındıran _=73 derece 43´ sabit açılı logaritmik sarmal formundadır.

DNA’da Altın Oran

•Canlıların tüm fiziksel özelliklerinin depolandığı molekül de altın orana dayandırılmış bir formda yaratılmıştır. yaşam için program olan DNA molekülü altın orana dayanmıştır. DNA düşey doğrultuda iç içe açılmış iki sarmaldan oluşur. Bu sarmallarda her birinin bütün yuvarlağı içindeki uzunluk 34 angström genişliği 21 angström’dür. (1 angström; santimetrenin yüz milyonda biridir) 21 ve 34 art arda gelen iki Fibonacci sayısıdır.

Resim10

 

Kar Kristallerinde Altın Oran

•Altın oran kristal yapılarda da kendini gösterir. Bunların çoğu gözümüzle göremeyeceğimiz kadar küçük yapıların içindedir. Ancak kar kristali üzerindeki altın oranı gözlerinizle göre bilirsiniz. Kar kristalini oluşturan kısalı uzunlu dallanmalarda, çeşitli uzantıların oranı hep altın oranı verir.

 

MÜZİKTE ALTIN ORAN

•Matematik ve müzik ilişkisinin kökeni Antik Yunan filozofu Pisagor (Pythagoras) (MÖ 570-495) ile milattan önce altıncı yüzyıla kadar dayanır. Birçok kişi onu geometri ve trigonometri ile ilişkili Pisagor Teoreminden bilmesine rağmen bu onun ünlü olmasının tek sebebi değildir. Pisagor aynı zamanda müzikle ilgilenmiş ve ses perdeleri arasındaki aritmetik ilişkileri ortaya çıkarmıştır. Onun sayı ve ses arasındaki ilişkiyi keşfettiği söylenir. Pisagor, sayıların evrenin idari prensibi olduğuna inanıyordu. İnsanların kulakları sesi sayısal olarak analiz edemediğinden, sesi titreşen tellere dönüştürerek tellerin ve perdelerin uzunluklarını incelemiş ve notalarda bağdaşan basit oranlar bulmuştur. Müziksel akord sistemi bu buluş üzerine temellenmiştir ve bu ses aralıkları ve oranları bizi altın orana götürmektedir.

•Müzik aletleri çoğunlukla yüksek ses kalitesi sağlamak için Fi sayısı temel alınarak yapılır.

•kemanda altın oran:

Resim11
f =AB/ BC=AC/CD ve
f AD/AC=AC/AB=CD/BC dir

•Piyano tuşları da Fibonacci sayıları ve müzik arasındaki bağlantının büyüleyici görsel açıklamasına olanak sağlar. Klavyedeki bir oktav, biri diğerinden daha yüksek olan iki nota arasındaki müziksel aralığı temsil eder. Yüksek olan notanın frekansı, düşük olanın iki katıdır. Klavyede bir oktav, 5 siyah ve 8 beyaz tuş olacak şekilde bölünür, toplamda 13 tuş vardır. Beş siyah tuş biri ikili biri üçlü olmak üzere iki gruba ayrılır. 2, 3, 5, 8 ve 13 birer Fibonacci Sayısıdır.

Resim12

•Birçok ünlü bestecinin (Mozart, Beethoven, Bach, Chopin, Béla Bartók, … ) eserlerinde Fibonacci Dizisi ve Altın Oran’a rastlanmıştır. Fakat bunun tesadüf mü yoksa bilinçli mi olduğu bilinmemektedir. Bunun yanında, Fibonacci dizisini bilinçli olarak kullanan ve bunu belirten besteciler de bulunmaktadır.

 

ALTIN ORAN ÖRNEKLERİ

Resim13Resim14

Toros Dağları’nın kıvrımından tutun da, kaşımızla gözümüz arasındaki uzaklığın birbirine oranına kadar en açık örneklerde görebildiğimiz altın oran, bazen gözle göremeyeceğimiz kadar küçük ayrıntılarda gizlenmiş olabiliyor. Fakat gerçek olan şu ki, evren ciddi bir matematik kuralına göre işliyor.

Bilgi mutluluktur, mutluluk paylaştıkça çoğalır. Derleme oluşturduğum bu yazıyı beğendiyseniz ve faydalı bulduysanız sosyal medya hesaplarınızda paylaşmayı unutmayın ! 🙂

Şuraya da birkaç video bırakıyorum 🙂

Bir Cevap Yazın

Aşağıya bilgilerinizi girin veya oturum açmak için bir simgeye tıklayın:

WordPress.com Logosu

WordPress.com hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap /  Değiştir )

Google fotoğrafı

Google hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap /  Değiştir )

Twitter resmi

Twitter hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap /  Değiştir )

Facebook fotoğrafı

Facebook hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap /  Değiştir )

Connecting to %s